公开密钥算法-RSA的原理

在1970年代，个人电脑出现之前，计算机通常是大型、昂贵、专业化的设备，只有少数具有专业知识和资源的机构才能够使用和维护。比如大型企业和机构，比如科研学术机构、政府和军事机构、科技公司和工业企业、金融和医疗机构等。这些机构通常拥有专门的计算机部门或者信息技术团队，负责管理和维护计算机系统，才能满足各自的业务需求。

对称密码非常适合在封闭的组织和机构中使用，因为同属一个组织或机构，用户之间存在信任关系，而且可以通过内部流程和策略来管理对称密码的密钥。后来个人计算机出现了，计算机的使用从封闭的环境向社会和个人，需要跨部门、跨行业、跨地域远距离交换信息，对称密码开始暴露出这些问题：

密钥管理困难： 在共享密钥的情况下，如果密钥泄露，所有使用该密钥加密的消息都将被暴露。这可能导致严重的后果，例如财务损失、身份盗窃等。
密钥认证问题： 很难验证共享密钥的真实来源，这使得攻击者可以伪装成合法用户窃取密钥。
抵赖问题： 由于无法验证消息来源，一方可以否认发送过某条消息，另一方无法证明其真实性。

举个例子，假设小明和小红是好朋友，他们想要通过互联网进行私密交流。他们决定使用对称密码来加密他们的消息，并约定了一个共享密钥，然后通过安全渠道交换了共享密钥，比如通过见面或可信的第三方。

现在，他们两人可以开始愉快地使用共享密钥加密和解密消息了。可是一段时间后，小红发现了一些奇怪的事情：她的银行账户被盗了，个人信息被泄露了。她怀疑是小明泄露了共享密钥，导致这些信息被窃取。小红质问小明，小明矢口否认。由于对称密码系统无法提供消息来源的验证，即使小明确实泄露了密钥，小红也无法证明这一点，因为小红自己也持有相同的密钥。

公开密钥密码

在1970年代中期，出现了公开密钥密码（Public-key cryptography），非对称密码使用一对公钥和私钥。公钥可以公开分享，私钥必须保密。数据可以用公钥加密，只能用对应的私钥解密。公开密钥密码也称为非对称密码（asymmetric cryptography）。

在上面的例子中，如果小明和小红使用非对称密码，他们相互拥有对方的公钥，小红可以使用小明的公钥加密消息，只有小明可以使用他自己的私钥解密消息。即使小红泄露了她自己的私钥，攻击者也无法使用它来解密小明发送的消息。

非对称密码可以解决对称密码存在的一些问题：

简化密钥管理： 每个用户只需要管理自己的私钥，无需共享密钥，降低了密钥泄露的风险。
提供密钥认证： 公钥可以用于数字签名，验证消息来源的真实性（这一点我们会在后续的文章详细说明）。
防止抵赖： 数字签名可以防止一方抵赖发送过某条消息。

1974年，Ralph Charles Merkle 提出了公开密钥加密思想。到了1976年，在麻省理工学院工作的 Ron Rivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 一起发表了 RSA 算法，RSA 名字来自于他们姓氏首字母。

[!NOTE] 注意
其实早在1973年，在英国政府通讯总部工作的数学家 Clifford Cocks 就已提出与之等效的算法，由于是在内部文件中提出的，一直被英国政府列为机密，直到1997年才得以公开。

RSA 数学原理

RSA 加密和解密过程都很直观，它是个简单的数学计算过程。

先用下面公式加密 X，得出的结果 Y 便是密文：$$X^E \bmod N = Y$$ 根据费马小定理，按照下面公式计算解密，便可得出明文 X： $$ Y^D \bmod N = X$$ 这里的关键确保解密过程能恢复原文。加密和解密过程用到了三个值：N、E 和 D，其中 (E, N) 是公钥， (D, N) 是私钥，N 是公钥和私钥的共同部分，把公钥和私钥联系起来的是费马小定理和欧拉定理，它们确定了私钥的 D 是公钥的 E 的唯一解，只有知道私钥才能解密成正确的明文。

费马小定理

费马小定理是一个关于质数和整数之间关系的数学定理。它的内容是：

如果 p 是一个质数，并且 a 是一个整数（但不是 p 的倍数），那么 a 的 p−1 次方减去 1 一定可以被 p 整除：$(a^{p-1} - 1) \bmod p \equiv 0$，写成更常用的格式：$a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$。

假设我们有一个质数 p=7，并且 a=3（3 不是 7 的倍数），那么根据费马小定理： $(3^{7-1} - 1) \mod 7 = 0$。

欧拉函数

如果 a 和 n 互质，那么 $a^{\varphi(n)} \equiv 1\pmod{n}$，跟费马小定理是不是很像？因为欧拉函数扩展自费马小定理，这里的 $\varphi(n)$ 是欧拉函数，表示小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。

原理

先准备两个很大的质数 p 和 q。

计算模数 N：$N = p \times q$，N 是公钥和私钥的一部分。

计算欧拉函数 $\varphi(n)$：$\varphi(n) = (p-1) \times (q-1)$。

选择公钥指数 E：选择一个与欧拉函数$\varphi(n)$互质的整数，比如 3、5、7、11...... 通常选一个小的。

计算私钥指数 D：私钥指数 D 是公钥指数 E 的模 $\varphi(n)$ 的乘法逆元：$D \times E \equiv 1\pmod{\varphi(n)}$，这里确保了 D 是 E 加密的唯一解。

证明解密的正确性

根据私钥 D 和公钥 E 的定义：$D \cdot E \equiv 1\pmod{\varphi(n)}$，也就是说，存在整数 K 满足： $$D \cdot E = 1 + K \cdot \varphi(N)$$ 要证明：$X = Y^D \bmod N$ 其实等同于证明 $X^{E\cdot D} \equiv X \pmod N$。根据整数 K ，则有： $$X^{E \cdot D} = X^{1+K\cdot \varphi(N)} = X \cdot (X^{\varphi(N)})^K$$ 根据欧拉定理，对于与 N 互质的任意整数 X，有：$X^{\varphi(n)} \equiv 1\pmod{N}$，因此： $$X^{E \cdot D} = X \cdot 1^K = X$$ 指数 E 和 D 就这样消去了，这就表明解密过程能够正确地恢复原始消息 X。

[!NOTE] 注意
计算机只认识二进制，底层存储的所有数据也是二进制的。对文本加密的时候，其实操作的是字符对应的 Unicode 编码或其它编码的。解密的时候，也是操作一长串二进制数字，如果密钥不正确，解密计算也会得出一长串二进制数字，只不过这串二进制没有对应有效的字符，结果是没有意义的，如果用文本编辑器打开后看起来像一堆乱码。

针对RSA的攻击

RSA 算法的安全性建立在数学原理上，因为分解大质数很困难。RSA 生成的密钥选用的 p 和 q 通常都在1024位以上，那合数 N 的长度就有2048位以上，以目前的计算能力，想要通过穷举的方式分解 N 的两个质因子 p 和 q 是极其困难的。私钥中的 D 依赖公钥 E 和模数 N 的关系，这种关系是建立在数论中复杂的数学运算之上，想要从公钥计算出私钥也是极其困难的。

假如有人能够找到一种分解大整数因子的有效算法的话，RSA 就会变得不安全；或者量子计算机有朝一日实用了，在远超当前算力的情况下，RSA 也会变得不安全。但是在这些到来之前，只要密钥足够长，RSA 算法仍然是安全的。